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Descriptiva: Componentes de un Vector.

Teoría CATIA
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Letra V      Componentes

ector Director

 

 

1.      Conceptos algebraicos. Motivo de este documento.
2.      Rectas en CATIA = Vectores.
2.1.      Componentes de ese “Vector”.
2.2.      Dirección y Sentido de ESA Recta.
2.3.      Componentes de esas dos rectas
3.   Trigonometría. Senos y Cosenos.
3.1       Relación entre los cosenos de un Vector Unitario.
4.      Aplicación de estos conceptos.
4.1.      Uso de Vector Unitarios. Cosenos del Vector Director.
5.      Conclusión: ¿Componentes o cosenos?
6.      Formulas para aplicar en un Ejercicio

 


1.- Conceptos algebraicos. Motivo de este documento.

 

  Muchas veces, el problema que tenemos, no radica en el conocimiento de “la función de CATIA”, si no en la falta de conocimientos básicos de Descriptiva o de Álgebra Lineal.

   Otra cosa que tendremos que tener en cuenta, en este documento, es que existen dos clases de “Ingeniería”:

•  Ingeniería directa:   Es cuando nos dan todos los datos, sin ambigüedades, para construir algo y sólo tenemos que hacerlo.
•  Ingeniería “inversa”:   Es cuando nos dan “algunos datos” y tenemos que encontrar el/los que faltan para poder construir “ese algo”.

 

  En este documento tendremos ejemplo de ingeniería directa:

•  Cuando nos dan las tres coordenadas del Origen y las tres del Vértice de un vector, con lo cual tenemos:
  •  La dirección.
  •  El “sentido” (hacia un lado o hacia el otro lado).
  •  El punto de aplicación.
  •  Y la longitud.

 

  Y nos centraremos en ejemplos de ingeniería “inversa”:

►    Cuando nos den una recta de la que sabemos, el Origen, dos coordenadas de un punto, perteneciente a la recta, y la longitud de la Recta.
►    O Cuando nos den dos, de los cosenos del vector director de una recta, y “dos condición más”, para determinar cuales son los ángulos que forma esa recta con los Ejes de Referencia, el origen y la longitud.

 

Recordar Nota: Hablar de “..que nos dan cosenos..” es equivalente a decir que “..nos dan el ángulo, cuyo coseno es….
Recordar Nota 2: Hemos puesto el Origen de la recta, coincidiendo con el origen del Sistema de Ejes para facilitar la explicación inicial.

 

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2.- Rectas en CATIA = Vectores.

 

  Una recta, en el espacio, creada por CATIA V5, es, en el fondo, un Vector. Probemos:

1.-   En un nuevo Part, creo un punto en el origen y le llamo “P0”. Y otro punto por coordenadas (por ejemplo 20, 30, 40) y le llamo “P1”, dándole como “Punto de Referencia” el “P0”. Acabo de darle “cotas relativas a la que tenga el P0”, de acuerdo a la dirección del Sistema de Ejes. Si el P0, le pongo X=3, la X absoluta del punto P1 será 3+20.
2.-   Creo una recta Point-Point, del P0 al P1, en este orden (Start= P0; End=P1), y le llamo “Recta”. Ya tenemos la Dirección (la recta infinita), el Origen (P0) y el “sentido”.

  Probemos que tenemos “sentido”:

3.-   Creo un Point, de tipo “On curve” y No le marco Reference->Point. Verás como la flecha indica que su “sentido es desde el P0, hacia el P1” y su Origen el P0. Luego es verdad lo que acabo de exponer ¿no? Si hacemos la recta desde el P1 al P0, la “geometría” estaría en el mismo sitio, pero un punto, Distancia en Curva, iría en sentido contrario.

 

   img: sentido

  Preguntas que tienes que hacerte:

►   Para dibujar esa Recta: ¿Tengo límites inferior, superior o de signo para esas coordenadas del Point P1?
   CATIA V5 no tiene el valor “infinitoreal. Su “infinito” está limitado por el valor del “Área de trabajo”, definida en ToolsflechaOptionsflecha Parameters and Measures, pestaña “Scale”, “Working area”, aunque “teóricamente existe”. Pero tiene el valor “cero”.
  Imagino que habrás descubierto que “casi” no tiene límites y ningún problema con los signos.   Puedes modificar cualquiera, que la recta seguirá existiendo… “excepto” cuando los tres sean cero.. Ups.. te he dicho uno Imagen: triste Pero para cada conjunto de esas coordenadas, tendrás un ángulo distinto.

 

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2.1.- Componentes de ese “Vector”.

 

  En el apartado anterior, he remarcado una frase: “cotas relativas respecto a la dirección del Sistema de Ejes”. Expliquémoslo, como hizo mi amigo Raúl.

   Si dibujamos una recta, que parte del Origen de la recta (P0), paralela al eje X y de longitud la “diferencia” entre la X del punto P1 y la X del punto P0.
  Y otra, con las mismas condiciones, partiendo el final de la recta anterior respecto al eje Y.
  Y una última igual que la anterior, pero respecto al eje Z, tendremos la siguiente figura:

 

img: componentes desde un punto

 

   Si suponemos el punto P0, coincidiendo con el Origen, ya las “cotas relativas”, coincidirían con las cotas absolutas. Pero recuerda que seguimos haciendo “la resta”.

img: desde origen

  A esto, en Algebra Lineal, se le denomina “Componentes de ese Vector” (= de esa recta).

img:Nota

   Pero no hemos hablado, para nada, que esa recta tenga una determinada longitud. ¡Claro!, que por la forma de definirla (Punto a Punto), si empieza en P0 y termina en P1, tiene todos los datos!: Dirección, sentido, Origen y Longitud, lo cual es sólo en este caso de “Ingeniería Directa”.

  Pero este documento se centra en la Ingeniería Inversa, donde nos dan, por ejemplo, el punto de Origen y los ángulos que forma la “Recta” con los ejes X e Y, con lo cual tenemos definida la “dirección y el sentido”. Pero se suponen que nos dará otro dato, para determinar la longitud de dicha “Recta”.


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2.2.- Dirección y Sentido de ESA Recta.

 

  Hablando en leguaje “catiero”, en muchos comandos me piden “Direction”. Y normalmente, el “personal” la define con la “dirección del Vector Director”, de una Line o de un Plane, seleccionando esos elementos. En ese caso, NO te piden la longitud de esa “Recta”.

Vamos ahora a dibujar una recta de longitud la Unidad. La dibujaremos de “unidad el centímetro”.

 

4.-    Vamos a ToolsflechaOptionflechaGeneralflecha Parameter and Measures, pestaña “Units” y ponemos, como unidad de longitud= “cm. NO hemos matado a nadie. Simplemente los valores, que se muestran, cambian. Aunque CATIA V5 los mantiene como milímetros.
5.-   En esa “Recta”, que ya tenemos dibujada, creo un punto sobre ella, a una distancia del Origen de 1cm, y creamos otra Line, más pequeña (“Recta_Unidad”) que vaya de P0 a ese nuevo punto.

¿Está claro que tendría la misma dirección y sentido? ¡CIERTO! Por lo tanto, nos serviría en CATIA V5.

img: vector unitario

 

  

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2.3.- Componentes de esas dos rectas.

 

  Ya hemos visto, los vectores “Componentes” de la “Recta” y sus valores. Para que lo veas más claro, coloco, las proyecciones de la “Recta, sobre sus respectivos ejes:

img: valor compo

 

  Voy ahora a mostraros los “componentes” de la “Recta_Unidad”:

img: valor cose

A = 0,371391 ; B = 0,557086 ; C = 0,742781

  Vamos ahora a hacer una comprobación “tonta”: Usando el icono “Measure Item”, lo aplicamos a ambas Line’s: la “Recta” y la “Recta_Unidad”:

img:cos_Recta

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img: rect Unidad

  Y esos “valores” (sin tener en cuenta las unidades) que aparecen en el campo “Direction vector” (Vector Director), coinciden numéricamente con los cosenos de los ángulos que forman la “Recta_Unidad” con los ejes X, Y y Z respectivamente.

  Y se denominan “Cosenos del Vector Director de una Recta (o de un plano)”.

 

 Para ángulo, respecto a una recta cualquiera, consulta:  https://www.muchocatia.es/nivel0/des-002-elementos-que-forman-angulos.html

 

3.- Trigonometría. Senos y Cosenos.

 

  Os voy a recordar la relación que existe entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, cuando la longitud de la hipotenusa es igual a la “unidad” y las relaciones trigonométricas. Consideraremos el ángulo alfa (α) como el situado en el centro del círculo de radio igual a la unidad, por el que se desplaza un extremo de la hipotenusa.
  Recordaremos que el seno del ángulo alfa es igual a la longitud del cateto opuesto (yo, nemotecnicamente digo “de frente”) partido por la longitud de la hipotenusa (el radio). Y ya sabemos que, al dividir una longitud por otra longitud (se simplifica), el resultado es lo que se llama una “proporción”, o sea: un número Real sin dimensiones. Y que al ser, en este caso, la longitud de la hipotenusa 1, la proporción es el mismo valor numérico, pero ya sin unidades.

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  Y el coseno es lo mismo pero con el cateto contiguo (yo, nemotecnicamente digo “de abajo”).
img: trigo

 

3.1.- Relación entre los cosenos de un Vector Unitario.

 

  Como estamos pensando en ingeniería inversa, y estos “cosenos” sólo dependen de los ángulos respecto a ejes, que es lo que en este caso nos dan, tendremos que saber qué relación existen entre ellos.

  De la ecuación que hemos visto del “vector director del Plano”:
(https://www.muchocatia.es/nivel0/man0102-ala-plano.html) , podemos deducir que:

 

   img: ecuac1  Y si D=1 (vector unitario), tenemos que:

  img: ecuac2 , siendo A, B y C los cosenos de los ángulos, que forma el vector, respecto a los ejes X, Y y Z.

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   Según el teorema de Pitágoras, sobre el triangulo rectángulo, dice que:

►  La hipotenusa, al cuadrado, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

 

  Luego la suma de los cuadrados de los cosenos de los ángulos respecto a los ejes X e Y, sería igual al seno del ángulo respecto a Z. Como lo que nos interesa son los cosenos, tendríamos que hacer esa conversión, para que estos valores sean los que necesitamos.

   Pero podemos deducir, por la imagen anterior, que  img: ecuac3

►  La suma de los cuadrados de los cosenos de un vector unitario es siempre ± 1.

 

Lo que implica => img: ecuac doble

 

Vemos que C (coseno respecto a Z) puede tener valor positivo (por encima del plano XY) o negativo (por debajo de XY).

►    O dicho de otra forma: img: c+b+a . Con lo que: img: form  No puede ser mayor que 1, porque entonces img: c  sería menor de 0 (valor negativo) y sabemos que la raíz cuadrada de un número negativo, tiene como resultado un número imaginario.

 

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4.- Aplicación de estos conceptos.

 

Esa es la pregunta que os hacéis:

 

   pregunta Juanri: ¿Cuándo se aplica esto en CATIA V5?

  Pues se aplica en cualquier comando que nos pida una dirección. En esos comandos, en el campo “Direction”, con el botón derecho del ratón (¿qué haría yo sin el botón derecho?) seleccionaríamos “Edit Components” (¡Vaya: ya salió otra vez “components”!)

  Por ejemplo (ingeniería inversa):

  Queremos dibujar una recta, desde un punto conocido, en la dirección que tendría otra que fuera desde un punto (P0) a otro existente (P1). Si medimos la diferencia entre los dos puntos, respecto a nuestro Sistema de Ejes, tendríamos esto:

 

 

Vemos que nos da los “Components”, que son los que tendríamos que aplicar aquí:

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    pregunta Juanri: Pero tú no le has puesto unidades.

  Cierto. CATIA V5 va a protestar, pero vale porque es igual ponerle unidades o no ponérselas. Son “proporciones”. En este caso, estamos dando “Componentes” que no llegan a la condición (más restrictiva) de cosenos del Vector Director.

  Si hacemos una medición con el icono “Measure Item”, customizado adecuadamente, nos daría esos cosenos del Vector Director.

   Y en la Ingeniería Inversa, cuando nos dan los ángulos de una recta respecto a  dos Ejes ortogonales. No se puede usar respecto a dos líneas cualquiera.

  

4.1.- Uso de Vector Unitarios. Cosenos del Vector Director.

pregunta La pregunta es ¿para qué nos puede servir esto?

 

   Pues el concepto lo deben tener muy claro los profesionales del Programación de Control Numérico (C/N), ya sea con CATIA o con otro software.

   La herramienta normalmente usada en C/N es una fresa, de forma cilíndrica, cuya punta puede ser plana o en forma de esfera. A esa geometría se le asocia un vector unitario (Vector director), cuyo origen se encuentra en el centro, en la punta de la herramienta; se alinea con el eje de la herramienta y la dirección del vector va hacia el interior de la fresa.

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   En el programa se define, para máquinas de 5 Ejes:

►    La posición del Origen de esa fresa, por tres coordenadas (X, Y y Z).
►    La orientación del vector, dado por los cosenos del vector director.

 

Y el programador sabe, de memoria, los valores principales:

    Valores (coseno respecto a x, a y, respecto a z ) Posición de la herramienta
x y z  
0 0 1 La herramienta esta en posición vertical, perpendicular al plano de la mesa (plano XY), dado que el coseno de z es 1.
0 1 0 La herramienta está tumbada, paralela al plano XY, alineada con el eje Y, dado que el coseno de y es 1.
1 0 0 La herramienta está tumbada, paralela al plano XY, alineada con el eje X, dado que el coseno de x es 1.

 

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5.- Conclusión: ¿Componentes o cosenos?

 

Al final hemos descubierto que:

 

  •    Los “Componentes” son una proporción entre los diferenciales de las coordenadas relativas, que definen todos los datos de una Line.
   Y los cosenos, son “componentes” que tienen una limitación: Deben cumplir ciertas reglas matemáticas y que definen sólo la dirección y el sentido.

 

6.- Formulas para aplicar en un Ejercicio.

 

pregunta Juanri: Si quisiéramos obtener, en un Geometrical Set, una Line, tipo Point-Direction, con parámetros, tipo cosenos: ¿Cuáles serían las fórmulas a aplicar?

   Antes que nada, recordarte que debes cambiar de nuevo las unidades.

 

   Pues mira:

1.-     Tendrías dos G. Set: uno con Datos (un punto de origen de tipo “isolate”) y otro con los Resultados

 

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2.-    Metemos en los resultados los parámetros. Recordar que los cosenos son de tipo “Real”.
3.-   Y esta serían las formulas:
cos_X = cos (Ang_X ) El ángulo debe ponerse dentro de un paréntesis, en sus unidades (deg)
cos_Y = cos (Ang_Y ) Como el anterior
Suma_Cuadrados = (cos_X ** 2) + (cos_Y ** 2) ** 2    significa “al cuadrado
cos_resultante_Z =  sqrt ( 1- Suma_Cuadrados ) sqrt      significa “raíz cuadrada
Ang_resultante_Z =  acos (sqrt ((1-Suma_Cuadrados ))) acos     significa “el ángulo cuyo coseno es tal”  (contar los paréntesis)

 

 

Ya sólo falta darle a la recta, la “Direction” por los “Components

  Lo malo es cuando los ángulos respecto del eje X y el eje Y no son “compatibles”… pero eso será otra lección…  ¿O no?

¿Por qué no lo intentas y me lo comentas?

En este documento, han participado Raúl Real e Inmaculada Guzmán, cosa que agradezco de corazón.

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Dado por El Juanri, en El Puerto de Santa María a 5/05/2020

 

 

 

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