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1.- Rectas que forman ángulos.

 

Se pueden dar varios casos que pasamos a ver.

 

  1.1.- Que forman un ángulo con una recta dada.

  Este problema se resuelve al aplicar lo expuesto en el Superficies Conicas como lugar Geometrico en el apartado 2 el punto 1 donde dice:
  La superficie cónica es el Lugar Geométrico de las rectas generatrices que, cortándose, forma un ángulo constante respecto al eje.

En CATIA V5:

  Supongamos que la recta dada se llama eje.
  Si la otra condición, es que pase por un punto (V) de esta recta dada:

1.-	Dibujamos, por ese punto, una recta que forme con la recta eje el ángulo pedido. Como “Support” dejamos el valor “Default (Plane)”, que es el plano que pasa por el punto y la recta dada.
2.-	Trazamos una recta, que empiece en el Punto V, paralela recta eje. Este será el Eje de Revolución.
3.-	Con ese Eje, trazamos un Cono de revolución usando la recta dibujada como “perfil de rotación”, que por lo tanto tiene el semiángulo de conicidad .
	•	Todas las generatrices, de este cono, tienen la condición de formar el mismo ángulo con la recta dada.

 

  Supongamos que queremos que, de todas las rectas resultado , elegir la que cumpla la condición de ser paralelas a un Plano dado (Plane.Beta).

4.-	En ese caso (suponiendo que dicho plano forma un ángulo inferior la que nos piden, con la recta eje), trazamos un plano paralelo al Plane.Beta, por el punto V y obtenemos dos rectas que cumplen esa condición. Téngase en cuenta que, en ese caso, las rectas se cruzan en el espacio y NO se cortan.
		En la Release 16 se obtenía sólo una recta y en la Release 27, se obtienen dos, que, al estar unidas por un punto, CATIA considera que es un único elemento. En este caso, lo mejor es hacer sólo la parte del cono que nos interese para que dé un solo resultado.

 

 

 

 

1.2.- Que forman un determinado ángulo con dos rectas conocidas.

 

   Pueden presentarse dos casos:

1.2.1.- Las rectas a y b se cortan en un punto V.

    Supongamos que se desea trazar por el punto V rectas que formen, respectivamente, ángulos  y  con las rectas a y b.

  Usando lo dicho anteriormente, podemos trazar dos superficies cónicas de revolución de vértice V y de ejes las rectas dadas a y b. Se toman  y  como semiángulos en el vértice de cada una de estas superficies. Esto producirá una intersección doble que son las rectas n y m, que son generatrices comunes de ambos conos y por consiguiente, solución del problema.

 

 

  Si ambos conos tienen la misma longitud en sus generatrices, sus curvas directrices se cortarán y además estarán contenidas en una esfera.
  ¿Por qué? Porque la esfera es el “lugar geométrico de los puntos del espacio que tiene la misma distancia de otro interior llamado centro”.
  O, dicho de otra forma: Una esfera con centro en el punto V, corta a los dos conos en curvas (circunferencias amarillas de trazos en la fig. anterior) que son circunferencias y por lo tanto contenidas cada una en un plano.

 

 

   Posibles casos:

  En el ejemplo anterior tenemos dos conos que se “cortan” y por lo tanto producen dos respuestas posibles. Pero dependiendo de las posiciones relativas entre las líneas, podemos encontrar una solución o ninguna según:

 

•	Si las dos superficies se cortan, hay dos soluciones,
•	Si son tangentes, solo hay una solución,
•	Si las superficies son exteriores una a la otra y sólo tiene el vértice común, en este caso no hay solución para el problema con esos ángulos y con esas rectas dadas.
•	Tampoco hay solución si un cono esta completamente dentro del otro.

 

 

En CATIA V5:

1.-	Trazamos un plano que contenga a las dos rectas dadas:
	•	Que pase por a y sea paralela a b. Sin la opción de “Forbid non coplanar lines”
2.-	En ese plano, dibujamos las líneas que nos van a servir para hacer el “Revolute”, usando como ejes las rectas dadas. El ángulo de inicio y final podemos determinarlo para que nos dé una sóla solución o las dos.
3.-	Hallamos la intersección de ambas superficies. Esta/s es/son la/s recta/s pedida/s.

 

1.2.2.- Las rectas a y b No se cortan, si no que se cruzan en el espacio.

  En ese caso, si lo que tenemos es un punto V, trazamos rectas paralelas a las dadas y lo solucionamos como en el caso anterior.

 

1.3.- Recta que forma ángulos con dos planos conocidos.

  Este problema se reduce a lo expuesto en el párrafo anterior si obtenemos por el punto V dos rectas perpendiculares a los planos dados. Esas rectas serán los ejes de los conos y las generatrices de los conos formarán con los planos el ángulo dado.
  Debemos de tener en cuenta que el semiángulo de conicidad de los conos, en este caso será el ángulo complementario, es decir (90°- ) y (90° -).

 

En CATIA V5:

 

1.-	Trazamos dos rectas que pasen por el punto V y sean perpendiculares a los planos dados.
2.-	Trazamos un plano que contenga a las dos rectas perpendiculares.
3.-	En ese plano dibujamos las líneas que nos van a servir para hacer el “Revolute”, usando como ejes las rectas dadas. El ángulo de inicio y final podemos determinarlo para que nos dé una sola solución o las dos.
4.-	Hallamos la intersección de ambas superficie. Como las “dos generatrices intersecciones” tiene un punto en común, NO te saldrá un mensaje para que selecciones uno sóla solución o mantengas las dos.

 Esta/s es/son la/s recta/s pedida/s.

2.- Planos que forman ángulos.

  Vamos a ver, en este grupo, los problemas inversos que pueden presentarse. Pero hagamos las siguientes reflexiones:

►	Un Plano puede definirse:
	•	Por que contenga dos rectas: La generatriz de un cono y la Tangente por un punto de la generatriz.
	•	Por que contenga una recta y pase por un punto: la generatriz y un Punto exterior.
	•	Por su Vector Director y que pase por un punto: la dirección de su Vector Director y un Punto.

 

  2.1.- Plano que forma ángulo con otro plano dado, pasando por un punto.

 

   Según el punto 3º de 001_SupConicasLugarGeom en el párrafo 5, cualquier plano que sea tangente a un cono cuyo semiángulo de conicidad sea el que queremos y cuyo eje sea perpendicular al plano dado, pasando por el punto, cumple las condiciones requeridas.

  En ese caso, las Líneas de M áximas Pendientes de los planos que cumplen los requisitos, son generatrices de dicho cono.
  En la siguiente figura, e es la recta; V es el punto; y (90°- ) es el ángulo dado. Y todos los infinitos planos tangentes a esta superficie cónica cumplen con las condiciones pedidas y serán la solución.

En CATIA V5:

  Supongamos el caso más genérico que el punto V no pertenece a la línea e.



  En este caso trazamos una recta paralela por el punto V y es como si el punto perteneciera a la recta e.

1.-	Trazamos un plano que pase por el punto V y por la recta e.
2.-	Trazamos una “Line” usando la opción “Angle/Normal to curve” y seleccionamos como curva la recta e y como “Point” el punto V y el ángulo es el dado. Si vemos que la línea no sale en la dirección deseada, ponemos como valor del ángulo 180deg – el ángulo dado. Esta recta la identificamos como “Line.generatriz”.
3.-	Trazamos otra recta que pase por el punto V y sea paralela a la recta e, usando la opción “Point-Direction”. Esta recta la identificamos como “Line.paralela a e”.
4.-	Usamos el comando “Revolute”, creando una superficie generada por la “Line.generatriz” y cuyo eje de giro la “Line.paralela a e”.
		Cualquier plano que sea tangente a esta superficie, es plano solución. Utilicemos uno.
5.-	Trazamos un plano tangente a una superficie, que pase por un punto (el que queramos) de la “Line.generatriz”.

 

 Veamos otra forma de resolverlo. Esta vez, en lugar de rectas usaremos también Sketch.

 

1.-	Trazamos un plano que pase por el punto V y la recta e.
2.-	Creamos un Sketch en dicho plano posicionado con el origen en el punto V y el eje V paralelo a e.
3.-	En ese Sketch dibujamos una recta que forme con el eje vertical (recordemos que es paralelo a e) el ángulo pedido.
4.-	•  Salimos del Sketch y obtenemos un plano normal a la recta e, por cualquier punto, por ejemplo por el extremo de la recta e.
5.-	Obtenemos la intersección de la línea del Sketch con dicho plano. Si es necesario usar la opción “Extend linear supports for intersection”.
6.-	Proyectamos el punto V sobre dicho plano.
7.-	Hacemos un círculo con centro en la proyección de V y que pase por la intersección del Sketch.

 

   Cualquier plano que pase por V y por la tangente, en cualquier punto, a este círculo (directriz de la cónica), es plano resultado. Por ejemplo el de la figura:

 

 

2.2.- Plano que forma ángulo con otro plano dado, pasando por una recta.

  Es el mismo caso que el anterior, pero limitando los resultados a los planos que contienen a la recta s.
  Supongamos que los datos que nos dan son: El plano debe pasar por la recta s y formar un ángulo dado   con la recta e.

  La recta s debe pasar por el vértice del cono, por lo que el eje del cono debemos trazarlo partiendo de un punto situado en dicha recta y ser perpendicular al plano dado.
  Para resolver el problema, se efectúan las operaciones siguientes:

1.-	Obtener un plano  perpendicular al eje del cono.
2.-	Determinar la directriz del cono en dicho plano perpendicular.
3.-	Hallar la intersección I de la recta s con el plano .
4.-	Trazar la/las tangente/s a la circunferencia directriz, por el punto de intersección I.

 

  Dichas rectas tangentes hacen tangencia en un punto de la circunferencia. Si unimos dichos puntos de tangencia con el vértice, obtenemos las líneas de máxima pendiente de los planos solución.

Discusión:

 Este problema puede tener dos soluciones, una o ninguna, según el siguiente cuadro:

Ángulo entre e y r	Punto de intersecc. I de r con el plano	Núm. de soluciones
Mayor que (90°- )	Exterior a la circunferencia	2 soluciones
Igual a (90°- )	Pertenece a la circunferencia	1 solución
Menor que (90°- )	Por dentro de la circunferencia	No tiene solución

 

 

Nota:

Para determinar el ángulo con el Plano, la recta debe ser perpendicular a dicho plano. Pero una vez obtenido el cono, la determinación del plano tangente, podríamos resolverlo mediante otro plano que no sea necesariamente perpendicular al eje del cono.   En dicho caso la curva sería una elipse pero serviría de la misma forma, como se ve en la figura que parte del punto M.

 

En CATIA V5:

 

  Supondremos en este caso que la recta r, se corta en el punto V con la recta e. Caso de no ser así, trabajaríamos con una paralela a la recta e que pase por un punto de la recta r.

 

1.-	Es el mismo de la teoría. Trazar el plano.
2.-	Trazamos un plano que contengan a ambas líneas e y r.
3.-	En ese plano trazamos una recta que forme el ángulo deseado con la recta e. Podemos hacer que “Limit2” llegue hasta el plano normal.
4.-	Trazamos un círculo cuyo centro está en la intersección de la recta e con el plano  y pasa por el punto del extremo de la recta que forma el ángulo, que es la generatriz del cono. El soporte del círculo está en dicho plano .
5.-	Obtenemos el punto de intersección de la recta r con el plano , el punto I.
6.-	Trazamos ahora una línea bi-tangente al círculo y al punto de intersección de la recta r con el plano. Elegimos una de las dos soluciones.
7.-	Ahora solo queda pasar el plano por la solución elegida y el punto V ( por la recta r).

 

2.3.- Plano, que pasando por un punto, formen ángulos dados con dos rectas conocidas.

Existen dos métodos:

►	Uno el que se explica en algunos libros (Sistemas de Representación-Sistema Diédrico, Tomo I, del Catedrático Don Román López Poza, basado en las L. de Máx. Pendiente y la Tangente.
►	Y otro (que me descubrió un lector Álvaro G. V), consistente en el Lugar Geométrico de las Normales de estos Planos, tangentes a los conos anteriores.

2.3.1.- Método de Lugar Geométrico de Líneas de Max. Pendiente.

  Este método determina, por medio de un plano que pasa por dos rectas, la “dirección” de ese plano, al que después se hace un plano, paralelo a él, por el Punto “M” del Dato.

Datos:

•	Las rectas a y b
•	Ángulos  (respecto de a) y (respecto de b).
•	El punto M.

 

   Sabemos que dos conos que tienen una esfera tangente a ambos, tiene dos planos tangente a ambos conos que pasan por los puntos G y H, que son los puntos de intersección de las circunferencias tangentes a la esfera de cada cono.
  Y también vemos en la figura que dichos planos, al pasar ambos por los puntos V y R tiene en común la recta BC, intersección de ambos planos.
  Para simplificar consideraremos que las rectas a y b se cortan en el punto P.

El proceso consiste en:

1.-	Trazar por un punto cualquiera de la recta a (el punto V), un cono que forme con dicha recta el ángulo .
2.-	Por el punto de intersección (punto P) de las rectas a y b, trazar una esfera tangente al cono anterior.

Para hacer que el otro cono sea tangente a la esfera, haremos lo siguiente:

3.-	Trazamos una recta que forme el ángulo con la recta b y sea tangente a la esfera anterior. Esto se puede determinar con ayuda de la intersección de la esfera con el plano que contenga a la recta b y a la generatriz. De esta forma determinamos el punto R de intersección con la recta b.
4.-	Dibujamos un cono con esa recta generatriz.
7.-	•

 

  Los planos tangentes a ambos conos serán las dos posibles soluciones, por lo expuesto en el punto 3º 001_SupConicasLugarGeom (los conos son lugar geométrico de las líneas de máxima pendiente de los planos que, pasando por el punto V, forman un ángulo constante con el plano .

  Hasta aquí la parte “obligatoria” de este procedimiento. Una vez obtenidos los dos conos tenemos los siguientes datos para determinar el plano/s que estamos buscando:

•	Dos puntos por los que pasa: Los vértices V y R.
•	Una recta intersección de ambos: la recta que pasa por V y R.

 

  Sólo queda averiguar otro dato que defina el plano con ayuda de los que ya tenemos. Veamos uno de los procedimientos, aunque no es el que más me gusta para CATIA, dado que a CATIA V5 no le gusta las “intersecciones” con elementos tangentes.

5.-	En este paso usaremos un punto común a ambas superficies cónicas para obtener un plano que pase por tres puntos. Este último 3º punto lo obtenemos por la intersección de las circunferencias tangentes de ambos conos con la esfera circunscrita.
6.-	Si obtenemos las 4 generatrices que pasan por G y por H, tendremos las 4 rectas de máxima pendiente de los dos planos de las bases de los conos y que son VA, RF (para un plano solución) y VL, RK (para el otro plano solución).

 

  No debemos olvidarnos, que sólo hace falta determinar una de las dos generatrices tangentes, dado que tenemos otra recta que pertenece a ambos planos por ser intersección de ambos y que es la recta que pasa por los vértices.
   Una vez hallados estos planos, sólo queda trazar una recta r paralelas a  BC y otra recta s paralela a VA (por ejemplo) por el punto M para determinar el plano solución.

Posibles soluciones:

 

1.-	El punto de intersección C es exterior al círculo con centro en O: Esto ocurre cuando el ángulo que forman las líneas OVC es mayor que el ángulo , formado por las líneas OVA. Hay dos soluciones.
2.-	El Punto de intersección C cae en la circunferencia con centro en O: Esto sucede cuando el punto R pertenece a una generatriz del cono de vértice V. Existe una solución.
3.-	El Punto de intersección C cae dentro del círculo con centro en O: Este caso no tiene solución.

 

En CATIA V5:

 

1.-	Trazamos un plano, para dibujar los ángulos, que pase por ejemplo por las dos líneas a y b.
2.-	En ese plano dibujamos una línea que forme el ángulo pedido , por ejemplo con la línea a, por el punto A cualquiera (hemos cogido el extremo) de la misma. Esta línea la identificamos como Line.generatriz a.
3.-	Trazamos un círculo tangente a esta línea y con centro en el punto de intersección de ambas líneas.
4.-	Trazamos una línea que forma ángulo de (90°- ), con la recta, para determinar el punto de tangencia.
5.-	Trazamos una línea por el punto de intersección de la recta anterior con la circunferencia. Esta recta cortará a la línea b en  B. Esta línea la identificamos como Line.generatriz b.
6.-	Hacemos una superficie de revolución de la Line.generatriz a, tomando como eje la recta a.
7.-	Hacemos una superficie de revolución de la Line.generatriz b, tomando como eje la recta b.
8.-	Si al círculo primero lo cortamos contra el eje, por ejemplo el a, podemos obtener un semi-círculo que utilizaremos para crear la esfera.
9.-	Calculemos las intersecciones de la esfera con ambos conos. El resultado debe ser dos círculos (amarillo y azul) a los que determinaremos la intersección entre ambos.
10.-	Por uno de esos dos puntos y los dos vértices de los conos, trazamos un plano que pase por tres puntos.
11.-	Trazamos un plano paralelo al anterior, y que pase por el punto M.

 

 Trazando la intersección de ambos conos y a su vez el punto de intersección de ambas intersecciones, no haría falta usar la esfera. Pero habría que hacer dos Extract, porque el resultado sería múltiple (dos curvas).

En este procedimiento podría fallar el paso 9. Para hacerle un by-pass, tenemos otro método que sería el siguiente:

9.-	Obtenemos la intersección del círculo “Circle.1” con las dos generatrices (“Line.Generatriz a” y “Line.Generatriz b”. lo cual nos dará dos puntos.
9a.-	Generamos un “Revolute” de dichos puntos usando como eje la recta a y la recta b respectivamente, obteniendo las dos circunferencias. Con esto solventamos lo que CATIA lleva tan mal: la intersección con superficies tangentes.

 

2.3.1.- Método de Lugar Geométrico de Lineas Normales a las de Max. Pendiente.

 

   Tengamos en cuenta la siguiente discusión:

►	Estamos de acuerdo que los planos “tangentes” al cono, que forma un determinado ángulo con una recta dada, contiene una Línea de Máxima Pendiente, que es una de las Generatrices de dicho cono, convirtiendo este cono en un Lugar Geométrico.
►	Pero los Vectores Normales de dichos Planos, TAMBIEN forman el “Lugar Geométrico de los Vectores Normales de los Planos Tangentes a dichos conos”. Que son Conos.

 

  ¿Y si en vez de tener que trazar esferas, obtener círculos, Intersecciones, tangentes, etc. simplemente vemos dónde los Lugares Geométricos de las Normales son comunes?

Estos serían los pasos en CATIA V5:

1.-	Trazamos un plano, para dibujar los ángulos, que pase por ejemplo por las dos líneas a y b.
2.-	En ese plano dibujamos una línea que forme el ángulo pedido  + 90°, por ejemplo, con la línea a, por el punto P (intersección de ambas rectas). Esta línea la identificamos como “VectoresNormales_a”.
3.-	Hacemos lo propio con la línea b.
4.-	Con esas rectas, como generatrices, obtenemos sendos conos de revolución con ejes a y b.
5.-	Obtengo la/s recta/s de intersección, que son la/s solución/soluciones.
6.-	Ya sólo tenemos que obtener un plano “Normal to curve”, siendo la “curve”, la recta intersección y el Punto el M.

 

  Como vemos, el resultado, EN CATIA V5 (no en Diédrico), es muchísimo más fácil.

 

 Y eso es todo. Como vemos el Cono, y su juego con la esfera, es la piedra ángular para resolver muchos problemas. Recordarlo ….

Actualizado el 04 Septiempbre del 2019

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CATIA V5 R27