Descriptiva: Desarrollo de Piramides y Conos de Revolución - MuchoCATIA

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1.- Desarrollos.

  De acuerdo con lo expuesto en las páginas anteriores, vamos a ver como se hace el desarrollo (siempre pensando en hacerlo con Diseño Grafico, en nuestro caso CATIA V5 ) de las distintas figuras desarrollables.

 

 

2.- Pirámides.

  Vamos a ver el ejemplo de una pirámide de planta pentagonal, y para que sea más genérico el método, veremos el caso de una pirámide no regular, sino oblicua, es decir que su vértice no está en la vertical del centro geométrico de su planta.
  Esto implica que, sus caras laterales, no son iguales y en el desarrollo habrá que tener especial cuidado en poner cada cara desplegada al lado de su cara correcta.

 

      

 

 

  En el desarrollo procederemos de la siguiente manera:

 

1.-	Tomamos la verdadera magnitud de las aristas VD, DC y CV y construimos un triángulo con los tres lados conocidos.
2.-	Con la verdadera magnitud del lado VB y centro en V, hacemos un arco para determinar donde puede estar el punto B. Hacemos otro arco, con centro en C y radio la longitud CB hasta que corte al arco anterior. El punto de intersección será el punto B.
3.-	Se repetirá este procedimiento con todas las caras y lo mismo se hace con la base, dando el siguiente resultado:

 

 

En CATIA V5 :

  Supongamos que no tenemos disponible el comando “Unfold”.
  Lo vamos a hacer en Sketch que es lo más fácil.

1.-	Sobre el plano que queramos hacer el desarrollo, definimos un Sketch y en él trazamos la base con las mismas medidas y ángulos que la base en 3D.

Recordar lo siguiente:

 

La suma de los ángulos interiores de un polígono plano y cerrado valen: tantas veces dos rectos como lados tiene menos dos.

 

Como en nuestro caso estamos hablando de un pentágono (5 lados) y es regular, el ángulo de uno de ellos valdrá:
2.-	Dibujamos una línea coincidente con una vértice del pentágono y el otro extremo coincidiendo con la línea media del mismo lado y acotamos su longitud.
3.-	Editamos la cota y la ponemos igual a la longitud de la arista lateral de la pirámide, de esta forma:
	•	Damos doble clic sobre la cota.
	•	Nos ponemos con el cursor encima del campo “Value” y con el botón derecho seleccionamos “Edit Formula” y nos aparece una nueva ventana.
	•	En esa ventana en la parte izquierda seleccionamos “Measure” y entonces, en la parte derecha doble clic sobre “Length (Curve, ...); Length”.
	•	El cursor queda entre medio de los paréntesis. Damos doble clic sobre la línea de la arista lateral

  Con esto hemos determinado la altura del triangulo isósceles de la cara lateral.

4.-	Con centro en ese vértice, dibujamos un arco de círculo, de referencia, de longitud suficiente a ambos lados.
5.-	Dibujamos puntos sobre la curva usando el comando “Equidistant Point” de la siguiente manera:
	•	Seleccionamos el icono
	•	Seleccionamos la curva.
	•	Seleccionamos el punto del extremo. La ventana nos deja seleccionar “Point & Spacing”.
	•	Tecleamos el número de puntos (2) y la longitud (igual a la del lado de la base).
	•	Los puntos los pone en modo “Euclidean”.
	•	Los otros dos puntos del lado contrario los ponemos usando el comando “Mirror”.
6.-	Ya solo queda unir los puntos con segmentos de rectas.

  Si queremos colocar un punto en el desarrollo, nos auxiliaremos de líneas que partan desde el vértice (que lo tenemos situado) y lleguen hasta un punto del perímetro de la base que podemos también situar, pasando una recta desde el vértice por el punto hasta la base.

3.- Conos de Revolución.

   Existen dos tipos de conos de revolución, en función de la posición del vértice respecto a la base: cono Rectos (los que tiene su vértice en la perpendicular del centro del circulo) y conos Oblicuos, que son los que no cumplen esta condición.

3.1.- Conos Rectos de Revolución.

  Podemos considerar el cono como una pirámide cuya base es de infinito numero de lados, dado que es una circunferencia.
  Dado que las aristas laterales aquí son las infinitas generatrices, podemos llegar a la conclusión que el desarrollo lateral del cono es un sector circular de radio igual al valor de la generatriz.
  Como por otro lado sabemos que la longitud de este arco de circunferencia es igual al valor del perímetro del circulo de la base, solo queda recordar la relación entre ambas longitudes: en desarrollo y en el espacio. Esta relación es la siguiente:

En el espacio: Long. del circulo de la base de radio r : 2 · π · r
En el desarrollo: Y la longitud de un sector circular de radio = g y cuyo ángulo alfa, es:

 
Como hemos dicho que ambas longitudes son iguales, tendremos:

	si eliminamos términos iguales, a ambos lados de la igualdad, nos quedaría:

Y como lo que necesitamos obtener es el ángulo (alfa) del sector circular, tendremos:



Luego si trazamos un arco de radio g y ángulo alfa, tendremos el desarrollo del cono recto de revolución.


  (En la imagen, la relación que hay entre r y g es: r/g = 25/100.)

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