Superficies Cónicas como Lugar Geométrico - MuchoCATIA

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1.- ¿Que eran Lugares Geométricos?

    Bueno, yo sé que muchos de mis lectores sabrán (de la escuela primaria) lo que son “lugares geométricos”. Pero, para los que no lo saben, permítanme que “se los cuente en un lenguaje claro y no académico” (nada más lejos de mi intención meterme en el terreno académico, jejeje).

 

 

¿Por qué “Lugar”?

  Porque es un sitio en el espacio, donde se reúnen ciertos “elementos” con el mismo fin o las mismas características. Un ejemplo de lugar: Un bar: “es el lugar donde se reúnen personas con un fin común, que es tomar algún alimento y/o bebida en compañía de sus conocidos y a veces solos”. Eso si pagando, jejeje… Este sería un ejemplo de “lugar humano” (me lo acabo de inventar).

2.- La Circunferencia, lugar geométrico.

   Como siempre hago, pongo un ejemplo que vale más que mil palabras: La circunferencia es un lugar geométrico. En ella se da la condición que todos los infinitos puntos (geometría) que la forman, están a la misma distancia de otro punto, que es el centro. Luego ese “lugar” que ocupan los infinitos puntos de la circunferencia forman un “Lugar Geométrico”: ¿Fácil no?
  Ese lugar geométrico de la circunferencia, cumple la condición de que, los puntos que lo forman, que están en un plano, mantienen “la misma distancia” respecto de otro punto llamado centro.

2.1.- Aplicación de la circunferencia en la resolución de problemas.

   Un ejemplo de la utilidad de la circunferencia, en la resolución de problemas, es cuando queremos obtener un punto que está contenido en, por ejemplo, una línea y está a una distancia de un punto P exterior a la línea. En ese caso, hallamos la intersección de la línea con una circunferencia con centro en dicho punto y tenga como radio la distancia que necesitamos. Hemos usado un “problema inverso”, aplicando sus propiedades.

 

 

3.- El Cilindro de revolución, lugar geométrico.

   Eso era en el plano. Pasemos al espacio. Un ejemplo de lugar geométrico es el cilindro de revolución. Se llama “de revolución” porque podemos considerarlo que es la superficie que se “genera por la revolución de una recta, a la que llamamos generatriz, alrededor de otra recta, denominada eje de revolución”.

  También se dice que el cilindro es “la generación de una superficie, mediante el desplazamiento de una recta (perpendicular a un plano), llamada generatriz, que se desliza por una circunferencia (contenida en dicho plano), llamada directriz, que dirige este desplazamiento”.

 

 

 

En CATIA V5 : 

  En CATIA V5 tenemos varias formas de hacer un cilindro. Ya en alguna Release, anterior a la 16, se añadió  el comando Cylinder en Generative Shape D. El procedimiento más sencillo es el siguiente:

1.-	Damos al icono “Cylinder” y nos aparece la ventana de diálogo.
2.-	Seleccionamos el punto por el que queremos que pase el eje del cilindro.
3.-	Seleccionamos la dirección, mediante una recta o un plano.
4.-	Definimos las longitudes a partir del punto seleccionado.

  Esta forma, una de varias posibles en CATIA, de generar un cilindro no es la que corresponde con la “explicación” aquí expuesta, por lo que vamos hacerlo con esa explicación: Mediante el giro de un segmento rectilíneo alrededor de una recta, que es el eje de dicho cilindro.

1.-	Dibujamos previamente en un Sketch (es lo más cómodo) un segmento rectilíneo paralelo a un eje, creado con el comando “Axis” dentro del Sketch.
2.-	Salimos del Sketch.
3.-	Damos al icono “Revolve” y seleccionamos la línea generatriz (llamada así porque es la que genera la superficie).
4.-	Sólo queda definir el ángulo de inicio y el ángulo final.

   Si no hemos definido el “Axis” en el Sketch, debemos también definir el eje respecto al cual gira el segmento recto.

 

4.- ¿Qué son Problemas Inversos?

   Para que comprendamos mejor esta frase, empezaremos por los problemas “directos”. Y un ejemplo aclaratorio: Partiendo de una línea dibujada en un plano, obtener otra línea que forme un determinado ángulo con la primera y pase por un punto de la misma.
  En los problemas “inversos” sabemos el resultado, y apoyándonos en las propiedades, debemos saber de dónde se ha partido. Otro ejemplo de ejemplo inverso: Es el caso de una línea que forma un ángulo con un plano y nos piden dicho plano.

5.- Otro Lugar Geométrico: La Superficie cónica de revolución.

  Por ser “un comodín”, en la resolución de problemas inversos de ángulos, vamos a ver las propiedades de estas superficies, como lugar geométrico de rectas.
  Al igual que el cilindro de revolución, estaba generado por una recta paralela al Eje de Revolución, el cono, está generado por una recta que corta en un punto al eje y por lo tanto forma con él un ángulo constante. Hay semejanza entre ambos en el sentido que:

•	El cilindro tiene generatrices que cortan al eje en el infinito (dado que son rectas paralelas). A esto se le llama punto impropio.
•	Las generatrices del cono de revolución, cortan al eje en un punto propio.

 

  En la imagen animada inferior, vemos como la recta generatriz VA gira alrededor del eje (VO) manteniendo constante el ángulo , llamado semiángulo en el vértice. Podríamos decir que el punto A sigue la trayectoria marcada por la circunferencia directriz contenida en el plano , perpendicular al eje del cono.



  Hemos dibujado una recta tangente a la circunferencia que describe el punto A (la directriz). Esta recta t, tiene la condición de formar 90° con la generatriz en todo momento y como es natural está apoyada en el plano .
  Si hacemos pasar un plano , por las rectas g (generatriz) y t (Tangente) obtendremos un plano tangente al cono. En dicho plano, la recta g es la línea de máxima pendiente de  con respecto a , dado que se encuentra en un plano perpendicular a la recta t. Y el triangulo contenido en dicho plano perpendicular AOV es rectángulo en O, siendo por tanto el ángulo en A igual a .
  De la observación se deduce que el plano , en cualquiera de sus posiciones, forma con el plano , un ángulo constante.

  De todo esto, podemos sacar las siguientes conclusiones: 

1.-	La superficie cónica es el lugar geométrico de las rectas g que, cortándose, forma un ángulo constante respecto al eje.
Esto me sirve para determinar la posición de una recta que forma un ángulo con respecto a otra en el espacio.
2.-	Hablando de la misma recta g, también podría decirse que es el lugar geométrico de las rectas que, pasando por un punto V, forman un ángulo constante respecto de un plano .
3.-	Y al ser estas rectas g líneas de máxima pendiente, es el lugar geométrico de las líneas de máxima pendiente de los planos que, pasando por el punto V, forman un ángulo constante con el plano .

  Esto nos sirve para determinar planos que pasen por un punto (el vértice del cono) y que, al ser esta recta g líneas de máxima pendiente, forman un cierto ángulo constante con otro plano  dado.

6.- Otras condiciones de las cónicas de revolución.

•	Una superficie cónica de revolución tangente a una esfera (para lo cual el centro de dicha esfera debe estar en el eje del cono) es tangente al cono en una circunferencia. Como es natural, esa circunferencia es una curva plana y por lo tanto está contenida en un plano perpendicular al eje del cono.
•	Dos superficies cónicas de revolución circunscrita a una misma esfera, tiene dos planos tangentes comunes a ambas, que lo son también a la esfera en los puntos G y H.

 

  Y eso es todo. Como vemos, el Cono es la piedra ángular para resolver muchos problemas. Recordarlo ….