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Descriptiva: Teorema de las Tres Perpendiculares

Teoría CATIA
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Sistema Diédrico.

  Todo lo que sigue, nos sirve para interpretar las Vistas de un plano de dibujo (documento). Debemos recordar que el “Lenguaje Universal” que empleamos los “técnicos” (sin menospreciar al inglés) es el Sistema de Representación Diédrico que se emplea en la documentación de aviones, automóviles, etc. Con un técnico de cualquier país, puedes decirle cómo es tu pieza dibujándole un croquis.

   Y lo más seguro es que, para interpretar correctamente una pieza, tengamos que analizar al menos dos vistas y a veces tres.

 

 

Teorema de las Tres Perpendiculares.

 

  Supongamos una recta r, que parte del Punto P (exterior al plano) y es perpendicular a un Plano Alfa.

  Sabemos que la condición, para que una Recta sea Perpendicular a un plano, es que lo sea a dos rectas no paralela, de dicho plano.

¿Cómo llegamos a esta conclusión?

   Pues porque el que sea perpendicular a UNA sola recta (la de color salmón), como vemos en la imagen siguiente, no es suficiente. La recta de trazos, de color blanco, se encuentra en un plano Perpendicular al plano XY, que pasa por la recta perpendicular amarilla.

 

  Forma 90° con la recta de color salmón, pero NO con la recta que pasa por la intersección, con el plano XY, de la recta amarilla, que sería la segunda.

Lo primero que expone este Teorema es:

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a) ►   Si la recta r es perpendicular al Plano Alfa, todos los Planos que pasen por r, también son Perpendiculares a dicho plano.

 

De lo anterior se deduce que:

b) ►    La intersección, de los planos que la contengan, producen, en el Plano Alfa, rectas que pasan por el punto de intersección de la Recta r con el Plano Alfa y que son perpendiculares a r. (Primera Perpendicular).   Supongamos que tenemos dos planos que la contienen y que entre ellos forman un ángulo (no son coincidentes), sus intersecciones pasarán por A y serán perpendiculares a r.

img: Proyecc

 

 

c)►    De esto también deducimos que: “Si un plano contiene al menos a dos rectas (las intersecciones), perpendiculares a una tercera recta (la recta r), dicho plano es perpendicular a la recta r”.
d) ►   Si tenemos otra recta cualquiera (s), que no pase por la intersección (A) y trazamos un recta t perpendicular a ella (Segunda perpendicular), contenida en el plano Alfa, desde el punto A, se define un punto B de Intersección entre ambas rectas.

img: 2 Perpend

e)►   Dicho punto de intersección B al unirlo con cualquier punto de la Recta r, define una recta u Perpendicular (Tercera Perpendicular) con la recta s.

img: 3 perped

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f) ►   Por otro lado, también nos dicen este Teorema, que el plano que pasa por las rectas r y por t, es perpendicular a la recta s, por contener a una recta perpendicular a ella.
g) ►   Y se deduce que las proyecciones de cualquiera de las rectas que pasan por el punto B, hasta cualquier punto de la recta r, se proyectan sobre el plano Alfa, como “t”.
h) ►   Si hacemos pasar un plano por las rectas u y s, formará un ángulo, con el plano Alfa, igual al complementario del semi ángulo del cono. Y se verifica lo que se expone en el párrafo c): “Plano que contiene a dos rectas perpendiculares a una recta, es perpendicular a esa recta

 

img: Semiangulo

img: Cono

El enunciado del Teorema de las Tres Perpendiculares dice:

►   Si dos rectas (s y u) son perpendiculares, en el espacio, y una de ellas (la s) es paralela a un plano de proyección (el XY o la “Planta”), las proyecciones de dichas rectas, sobre dicho plano de proyección, también son perpendiculares.
►  Se da el caso particular, de la recta r, perpendicular al plano XY (Planta), que en sus vistas Alzado y Lateral su proyección con respecto a las rectas del plano Alfa, se ven perpendicular. Pero en la Planta, la recta r se proyecta como un punto.Imagen: confundido Pero que el Teorema, está consolidado, en las otras dos vistas sabelo todo Por eso digo de “comprobar al menos dos vistas y si es necesario tres”.

 

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  El cono, que hemos dibujado, tiene:

 •       Una distancia de la base al vértice y otra del punto A al punto B (recta t).
 •     Esas distancias definen el semi ángulo del cono y por consiguiente el ángulo en la base.
 •    Con ese ángulo, tenemos un Plano (de color rojo) que:
  •   Pasa por la recta tangente (la recta s) al círculo de la base (intersección del Cono con el plano Alfa).
  •   Y se apoya en una generatriz (la recta u) del cono, que pasa por el punto de tangencia de la anterior recta. Esta recta del Plano, se le denomina “Línea de Máxima Pendiente
 •    Todos los Planos, que se apoyen, en cualquiera de las infinitas generatrices de dicho cono y contenga a su correspondiente recta tangente, formará el mismo ángulo respecto al plano Alfa y esa tangente será la intersección de ambos planos.

 

img: Linea maxima pendiente

Existe un vídeo explicatico en mi CanalYouTube:https://youtu.be/qzqn3tcRl5w

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Dado, por el Juanri, en El Puerto a 24/08/2019

Juan Ribas Dirija sus preguntas a: juanri@muchocatia.es CATIA V5 R27

 

 
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