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Para CATIA V5.

 

1.- Conceptos Generales.

  Partiendo de la base que, al menos en la chapistería y en la Industria en general, los elementos de partida son planos, pensemos lo siguiente:
  Una superficie es desarrollable cuando puede ser “envuelta” por un papel, sin que en este se produzcan arrugas.

 

 

  Caso que así fuera, este papel, al estirarlo sobre una mesa plana, sería el desarrollo de esta superficie.
  Si en vez de “envolverlas con un papel”, tuviéramos que generarla a partir de una chapa plana, si la superficie fuera desarrollable, en la chapa deberíamos darle una serie de “pliegues” a lo largo de las líneas de plegados, produciendo una deformación permanente (por rotura de fibras, una vez superado el límite elástico del material), pero sin sufrir “aplastamiento” (fluencia del material).
   Sin embargo, si no fuera desarrollable, en esta chapa aparecerían “arrugas” que el chapista tendría que “recoger” embebiendo esas arrugas.
  El ejemplo está claro: la cáscara de huevo de gallina (no va a ser de pollo, claro…) no se puede “desarrollar” (colocar estirada en una mesa plana) y por lo tanto no es desarrollable.

  Bueno, bueno, vale… Si ya se que el Mapamundi representa los cinco continentes (o hay mas?: el del Aljarafe, el del… no son esos, no..), pero es solo una “representación aproximada”, dado que una esfera no es desarrollable.
  En las figuras animadas siguientes, vemos como se desarrolla un cilindro y un cono.

2.- Propiedades Generales.

  Una de las propiedades “sine qua non” para que una superficie sea desarrollable es la siguiente.

Dos generatrices rectas, infinitamente próximas, han de cortarse en un punto propio o impropio.

   En el caso del Cono, dos generatrices, infinitamente próximas, se cortan en un punto propio, que es el vértice. En el caso del cilindro, dos generatrices, infinitamente próximas, se cortan en un punto impropio, dado que es en el infinito.

  Otra propiedad muy importante de las superficies desarrollables es la siguiente:

El plano tangente a la superficie, en un punto de la misma, es también tangente a lo largo de toda la generatriz que pasa por dicho punto.

  De esto último se deduce la segunda condición “sine qua non”:

La generatriz ha de ser una recta.

  En la siguiente figura podemos observar como, si se consideran las curvas a y b, contenidas en la superficie, las rectas  e  son tangentes en los puntos A y B respectivamente a dichas curvas trazadas y, por lo tanto a la superficie.
  También podemos ver que dichas tangentes son coplanarias por pertenecer al plano que pasa por el punto V y a la recta generatriz .

 

 

  Esta última propiedad permite trazar el plano tangente, en cualquier punto de la superficie desarrollable, pues queda determinado por la generatriz que pase por dicho punto y la tangente a una cualquiera de las curvas de la superficie que pase por dicho punto.

  Al decir “cualquiera” queremos decir que no es necesariamente una circunferencia, que es la que produce el corte de un plano perpendicular al eje del cono de revolución, sino que se amplía a todas las posibles curvas.

  Por último, al desarrollar una superficie, los desarrollos de sus líneas reciben el nombre de “líneas trasformadas”. Si la línea trasformada es una recta, en la superficie determinará la distancia más corta entre dos puntos de la superficie. A esta línea se le designa con el nombre de “línea geodésica”. En la figura siguiente, la recta a’b’ es la transformada de la curva ab sobre el cono.

 

 

 

 

  Una de las cosas interesantes y que debemos tener en cuenta es que, en el desarrollo, los ángulos y las distancias son conservativos, es decir: La longitud (por ejemplo) de la línea geodésica en la superficie y en el desarrollo es la misma.   También es el mismo, el ángulo que forma dicha línea con una de las generatrices que la corte, tanto en el espacio como en el plano de desarrollo.

3.Superficies Regladas No desarrollables: Superficies Alabeadas.

  Son superficies regladas (tiene una generatriz recta) no desarrollables, dado que no cumple la condición de que dos generatrices, infinitamente próximas, se corten en un punto propio o impropio. En este caso se cruza. Cumple, no obstante, con la condición que la generatriz es recta.

  En el dibujo adjunto, las generatrices rectas se cruzan a la altura del eje Y.

 

 

4.- Superficies radiadas.

  Se llaman superficies radiadas aquellas cuyas generatrices son rectas que se cortan en un punto propio (caso de la Pirámide, el Cono de revolución y el cono oblicuo) o impropio (caso del Prisma, del cilindro o del cilindroide).

4.1.-Superficies radiadas, cuyo vértice no está en el infinito.

 En la siguiente figura, hemos representado en el espacio (a la izquierda) en vista isométrica, una pieza formada por dos caras planas, que podría pertenecer a una pirámide triangular (línea de trazos). A la derecha están las vistas de dicha pieza.
  Fijémonos en este ejemplo de dos caras. Una de ellas (la cara AVB está apoyada en el plano YZ, donde haremos el desarrollo) la tenemos ya desarrollada sobre el plano YZ.
La otra (BVC) tenemos que desarrollarla sobre dicho plano.

 

  Para obtener el desarrollo de la cara BVC, debemos hacer un abatimiento sobre la arista VB que haría de charnela.

  El Lector:  Ufff!!, que complicado.... si por esto no me gustaba la descriptiva...
   Yo: Tranquilos los de atrás....Se me ha escapado un “palabro” de “abatimiento y charnela ”...Pero lo explico fácilmente, ya lo vereis.

 

   He querido decir, que la cara BVC la debemos hacer girar sobre la arista VB hasta colocarla apoyada en el plano YZ. ¿Mejor así? Vale.

¿Y qué hay que hacer para eso?

 

  Si recordamos, como hemos dicho en el punto anterior, que las longitudes son conservativas al hacer el desarrollo, debemos pensar que la longitud de la arista VC, que está en el espacio, mide lo mismo cuando esté en el desarrollo.
  Como estas explicaciones no van orientada a una persona que use escuadras, cartabón y lapicero, sino a personas que usen un sistema de diseño gráfico como CATIA V5, supondremos que esa longitud la conocemos, por poderla medir directamente en el 3D.
  Pues bien: si sabemos que la línea VC, en el espacio, tiene un punto V que ya se encuentra en el plano, podemos partir de ese punto para construir la línea. Si desde ese punto trazamos un arco de circunferencia de Radio igual a la longitud del segmento VC, tendremos que en esa curva debe estar el punto .

¿Pero donde? Pues por el mismo motivo, sabemos que el punto B también está apoyado en el plano y conocemos la longitud del segmento BC. Operamos de la misma forma, trazando otro arco, de radio la longitud del segmento BC y de centro en B.

  Donde corte con el arco anterior, reunirá las dos condiciones tanto para el lado BC como para el lado VC.

 

 

  Ya solo tendremos que trazar las dos líneas transformadas en el desarrollo que, junto con la “charnela”(linea por donde la cara a girado) completan la cara triangular VBC en VB



Cosas que también se cumplen:

 

•	El ángulo que forman entre sí las líneas se mantiene, por lo tanto podíamos haber hecho el primer arco y limitarlo mediante el uso del ángulo BVC (ángulo en V) que es igual al BV. Esto sólo se cumple en el caso de caras planas, no en el caso de caras curvas, como el Cono.
•	El ángulo que forman las líneas ABC es distinto que el que forman esas mismas líneas desarrolladas ABC0.
•	En el caso de caras planas, podemos usar la condición que se da en el “giro o abatimiento” y que dice así: “Todo punto gira en un plano perpendicular al plano de la charnela y durante ese giro la distancia a la charnela se mantiene”.   Luego si, según esto, trazamos un plano perpendicular a la recta VB y que pase por el punto C y en dicho plano dibujamos una circunferencia, con centro en la intersección del plano con la recta VB  (o su prolongación) y que pase por el punto C, esta circunferencia cortará al plano YZ en el punto , sin necesidad de hacer nada más.

 

  Como podemos considerar un cono como una pirámide de infinitos lados, todo esto es extrapolable a superficies cónicas, con las siguientes suposiciones:

•	Las aristas laterales de la pirámide, en el caso del cono son las infinitas generatrices, y tiene la misma condición de que su longitud se mantiene en el desarrollo.
•	Las caras laterales “planas” ahora están formadas por una serie de pequeños planos. Esto hace que el ángulo entre dos generatrices NO infinitamente próximas no sea constante sino el sumatorio de los ángulos de esos infinitos planos.
•	La base tiene forma normalmente curva cumpliéndose que la longitud total de esa curva se mantiene, como sumatorio de esos infinitos lados de la base.
•	Si consideramos uno de esos pequeños lados de la base y la generatriz que pasa por uno de sus extremos, el ángulo que forman esas dos líneas si que se mantiene constante. Cuando esos lados son infinitos, el segmento se convierte en la dirección de tangencia de la curva. Luego, la tangente a la curva de la base (o de cualquier otra transformada) por un punto, forma un ángulo con la generatriz que pasa por ese punto que se conserva en el desarrollo.

  Cuando se considere cónica la superficie representada, las líneas ABC serán curvas y la recta tangente a esa curva por el punto B (por ejemplo) estará en el plano tangente VB.

En CATIA V5:

  Muchas veces me preguntan si una superficie determinada puede ser desarrollada. Y yo siempre les digo que si “geométricamente son desarrollable” las podrá desarrollar cualquier programa, pero si no lo son, lo único que podrán hacer “algunos programas” (CATIA V5 R18 ya lo hace; CATIA V4 si lo hacía) es sacar una “aproximación”. Y cuidado!!: algunos creen que si el programa la saca, es porque es desarrollable y no tienen en cuenta el nivel de aproximación usado por el mismo, de lo cual CATIA V5 advierte... ¡En ingles, Of course!

  La pregunta que tenéis que haceros siempre es: si cumplen las dos condiciones:

►	¿Las isométricas en una dirección son rectas?
►	Dos isométricas, en la dirección en que es recta, muy próximas ¿se cortan en un punto propio (vértice) o impropio (infinito)?

  La pregunta ahora es como saber si, una determinada superficie, tiene isométricas rectas en un sentido.
  Eso se hace, en el Generative Shape Design en la paleta “Analysis” usando el comando “Geometric Information” .

  Damos al comando y seleccionamos sobre la superficie en cuestión y nos saldrá “el grado de curvatura” en las dos direcciones u y v de la misma.

  Vemos que el “grado de curvatura” en u = 1 mientras que en v=4. Si hacemos clic sobre un plano, nos dirá u=1 y v=1. Por lo tanto, como además se cumple la primera condición (dos generatrices próximas se cortan) es desarrollable!!

Nota:

Grado de curvatura: Es el grado de la ecuación de la curva o dicho de otra manera a qué valor están elevados los parámetros x e y en la ecuación. Si una curva es de grado 1 significa que es la ecuación de una recta. Grado 2 es la ecuación de una curva, como por ejemplo el círculo.

  Recordemos que la ecuación de la Recta es: 

y = mx +b

Donde: b = > la ordenada en el origen.              m =>  la pendiente (o tangente del ángulo que forma la recta con el eje x)

  Vemos que en esta ecuación x e y están elevados a 1 (y1 = mx1 +b)
Y la de la circunferencia:
Si la circunferencia está en el origen:

  Vemos que en esta ecuación los parámetros x e y está elevados a 2. Y también coincide con las intersecciones que una recta puede tener, como máximo, al cortar a una curva de grado 2.

 

 Ya estais viendo que, esto de la Descriptiva, no es para tanto. Como vemos, un Cono es similar a una pirámide cuya base es de lados infinitos. Recordarlo ….

Sevilla a 11/02/2022: Podeis ver un vídeo, relacionado con Unfold

 

Dirija sus preguntas a: juanri@muchocatia.es

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