Descriptiva en CATIA V5: Las Cónicas como Secciones Planas - MuchoCATIA

Está Vd en: Descriptiva>>Cónicas como secciones planas.

  En este apartado, vamos a tratar las Secciones Planas, que se producen en un Cono oblícuo.. Y en esta revisión (26/01/2023) veremos de paso las “isoparamétricas” de las superficies que tratemos.

 

1.  ¿Isoparamétricas, en CATIA V5
2.- Secciones Circulares.
2.1.- Superficies radiadas de directriz Circular.
2.1.1.- Superficie radiada: Cono Oblicuo.
2.1.2.- Cilindro Oblicuo.
3.- Tolvas en CATIA V5:

 

	Juanri: ¿Qué son las isoparamétricas, en CATIA V5?
	Veamos primero su significado y luego en CATIA V5, que para eso estamos aquí.
	•	Cuando en la televisión, sale el hombre/mujer del tiempo y nos habla de las isobaras, nos está hablando de curvas, que unen puntos del espacio, que se encuentran con la misma (iso=igual) Presión Atmosférica (otro “Lugar Geométrico”).
	•	Las curvas las podemos definir, matemáticamente, por una ecuación con un solo parámetro. Y las superficies las podemos definir por dos parámetros. Dicho de otra forma: Si quisiéramos mover un punto sobre una superficie, tendríamos que aplicar vectores en dos direcciones (u y v).

  

1.  ¿Isoparamétricas, en CATIA V5

  Podemos visualizar las curvas “Isoparamétricas” de cualquier superficie, invocando el comando “c: Dress-Up” (sin las comillas, ¡claro!) perteneciente al módulo Free Style, desde cualquier módulo, y seleccionado la superficie y la opción “Iso-curves” y eligiendo cuantas curvas quieres visualizar en cada “dirección”.

  Y generarlas, como “features”, con el comando “c: Isoparametric Curve”, que no voy ahora a explicar, por razones obvias.

   Yo siempre he pensado que implícita, a la “definición” de una superficie, van sus propiedades. Me explico:

►	Si me dices que una superficie es de “revolución”, pienso (y es cierto) que está generada por una curva (definición amplia que contiene: recta, curva plana o curva no plana) que gira alrededor de un eje. Y esto implica:
	•	Que un Punto, de esa curva, al girar para generar la superficie, él describe, una circunferencia.
	•	Que esa circunferencia es Plana y por lo tanto, un plano que corte a la superficie, perpendicular al Eje de Revolución, corta a la superficie formando una circunferencia (podría pasar por ESE punto).
►	Si me dices que una superficie es “radiada” siguiendo una Curva directriz pienso (y es cierto) que:
	•	Cualquier corte por un plano, perpendicular a la Curva Directriz, es una recta.
	•	Si la curva directriz es plana (podría no serlo), cualquier corte por un plano paralelo al que contiene a la Directriz, produce una curva “semejante” a ella. “Semejante”, porque puede ser el mismo tipo con distintas dimensiones, caso de cono.

 

¿Y que pasa con las superficies que pueden definirse de las dos formas, como el cilindro o el Cono? Pues que tendrían ambas “propiedades”, ¡Claro!

 

  

2.- Secciones Circulares.

  En las superficies regladas, cuya directriz sea una circunferencia o una elipse, un plano que corte a la superficie cónica, pasando por el vértice, produce dos rectas.
       Estas son las generatrices comunes a la superficie y al plano secante (se llama secante cuando corta, a diferencia de tangente cuando es tangente a la superficie, y no corta claro..jejeje).
  Cuando este plano secante no pasa por el vértice, produce en las superficies secciones planas de tipo “cónicas” algunas de las cuales hemos visto en Secciones circulares del grupo cónico.
  Por obvia no hemos visto, en el Grupo Cónico, la sección circular, que se produce cuando el plano secante, que corta al grupo cónico, es perpendicular al eje del cono.

  Pero la sección circular, la hemos dejado aparte porque es de mucha utilización en la industria, dado que la mayoría de los tubos son redondos y existen muchas tolvas cuyas bocas son circulares. Por eso, estudiaremos las superficies radiadas de directriz circular y elíptica.

2.1.- Superficies radiadas de directriz Circular.

 

  Todas las secciones producidas por planos paralelos al de la directriz, son circulares. En el caso del cono, además sus radios serán proporcionales a la distancia al vértice. Esto que se produce se denomina “homotecia” (que palabro!!). En el caso del cilindro o cilindroide, como su “vértice” se encuentra en el infinito esta “proporcionalidad” se traduce en igualdad.
  En el resto superficies oblicuas de vértice propio e impropio, que producen secciones circulares las vemos a continuación.

 

2.1.1.- Superficie radiada: Cono Oblicuo.

 

 Vamos a empezar por otro “palabro”: Plano antiparalelo.
  Partamos del conocido: el paralelo. Respecto a dos líneas, un plano es paralelo a otro cuando sus ángulos con respecto a las mismas líneas forman los mismos ángulos.
  Y se dice que un plano es antiparalelo, cuando respecto a esas dos mismas líneas los ángulos formados son del mismo valor pero están alternados.



  Es como si hubiéramos “cortado el cono” y lo hubiésemos girado 180°. Las cotas de 36,53° y la de 114,23° están ahora en las generatrices contrarias. Si observamos por separado las generatrices del cono largo (el original) y el corto (el de arriba) veremos que la larga del cono pequeño coincide ahora con la corta del cono largo.
Nota: Obsérvese de la figura, que mientras que en los planos “paralelos” los centros de las bases circulares se mantiene en la línea del eje, en el plano antiparalelo el centro de la circunferencia ya no está en el eje del cono.
  Como sabemos, un plano al cortar a todas las generatrices de un cono forma una elipse o un círculo. Por trigonometría (no vamos a entrar en la demostración) se llega a la conclusión que la sección que produce es de tipo circular.
  Como característica de este plano antiparalelo a la base, si trazamos una circunferencia que contenga a los cuatro vértices del cuadrilátero tenemos:

•	Los ángulos opuestos de un cuadrilátero son suplementarios. Esto quiere decir que el ángulo en B y el ángulo en C son suplementarios y por lo tanto son iguales los ángulos alfa del dibujo.
•	Esto implica que las rectas AB y DC son antiparalelas y por lo tanto los planos que pasen por ellas también lo son.

 

  Se observa que las distancias OB = OA = OD = OC, siendo el punto O el que cumple con ese lugar geométrico. Y si las rectas DC  y BA son diámetros de sus respectivos círculos, eso implica que todos los puntos del cada círculo cumple la condición de esa igualdad de distancias con el punto O.
  Dicho de otra manera: el punto O es el centro de una esfera que contiene a los círculos de las bases (circulares, claro está y valga la redundancia).



Con esto llegamos a la siguiente conclusión:

En una superficie cónica reglada de base circular, cualquier otra sección circular, no paralela a la base, debe estar contenida en la misma esfera que contiene a la base.

 

2.1.2.- Cilindro Oblicuo.

 

  Lo dicho para el cono (superficie radiada de vértice propio), podemos decir para el cilindroide de directriz circular o cilindro oblicuo (superficie radiada de vértice impropio).



  En la figura, se ha obtenido la sección circular producida por el plano que pasa por la línea CD, antiparalelo del de la base.
  Y otra curiosidad: las secciones circulares de una misma superficie son de igual diámetro.
  Por lo tanto también se deduce que dos secciones circulares, no paralelas, son también coesféricas.

 

3.- Tolvas en CATIA V5:

 

 Esto nos va a servir en el caso que tengamos que dibujar Tolvas de conos oblicuos, de directriz circular, que tenga una boca también circular. O bien Tolvas de cilindros Oblicuos de directriz circular a la que tengamos que obtener una boca, no paralela a la anterior, que sea circular.
   De todo lo dicho anteriormente, debemos sacar las siguientes conclusiones, para los dos casos:

Las secciones (para bocas) circulares se producen en conos oblicuos y cilindros, de directriz circular, SÓLO cuando son planas y los planos son: o paralelos al plano de la directriz o antiparalelo, es decir contenidos en la misma esfera de la directriz.

Otra forma de decirlo resumida:   Los trozos de conos desde la base al vértice forman, en la vista por el plano de simetría, triángulos semejantes.

 

¿Para qué nos puede servir esto? Pongamos un ejemplo.   Tenemos que construir una tolva y dado que una boca horizontal (la inferior) es circular y se une con otro tubo, también circular, deducimos que es un cono Oblicuo. La boca horizontal es de diámetro 130mm. Con el eje de esta salida, y a una altura de 65mm de la boca, el otro tubo circular forma un ángulo de 65°, siendo el otro tubo de diámetro 50mm.

 

  Vamos a dibujar el perfil aparente del cono oblicuo en la proyección normal al plano de simetría, y lo haremos en un Sketch. Los pasos a dar son los siguientes:

1.-	Obtenemos los puntos extremos, por medio del comando “Extremum”, de la curva de la boca de entrada (Ø 130mm) dando como dirección principal el eje Y, y como secundarios no hace falta definir ninguno. Obtenemos tanto el Máximo como el Mínimo en esa dirección.
2.-	Hacemos un Sketch en el plano de simetría y con centro en el punto de intersección de los ejes de los tubos y pasando por los puntos “Extremum”,  que acabamos de dibujar, hacemos una circunferencia. Esta circunferencia corresponde al contorno aparente de una esfera sobre el plano de simetría.
3.-	Dibujamos dos generatrices (máxima y mínima), partiendo de esos puntos. Su unión determinará el vértice que debemos externalizar.
4.-	Dibujamos una línea que una las dos intersecciones del círculo con las generatrices y le damos, como condición, que sea perpendicular al eje y de longitud 50mm, que es el diámetro que estamos buscando. Observamos que se forma un triangulo semejante.
5.-	Dibujamos, además, una línea que nos servirá para hacer “homotecia” con la base superior. ¡CUIDADO! No es el Eje del cono y sólo sirve pare eso. Y una Horizontal para esa Base. Externalizamos ambas.
6.-	Dibujamos la línea bisectriz de las dos generatrices, que es el Eje del Cono que nos servirá "para la superficie” con la base superior. Y la externalizamos.
7.-	Salimos del Sketch y obtenemos un plano perpendicular al plano de simetría que pase por la línea de la base pequeña definida en el Sketch y otro plano por la que define la Base superior.
8.-	Obtenemos sendos Sketch, en esos planos, de tipo “positioning” definiendo el origen del mismo como “Curve intersection”: Uno del eje del Cilindro pequeño y otro como la intersección de la línea de “homotecia” y dibujamos sus círculos.
9.-	Obtenemos la superficie con el comando “Multi-Sections Surface”, dando como curvas de secciones los dos círculos paralelos al horizontal (la base y la base pequeña) y como “Spine” la bisectriz.
	Recordar que tendremos que cambiar los “Closing Point”, colocándolos ambos en la misma Generatriz.

   Ya sólo queda hace un Split del cono por el plano y obtener el cilindro pequeño mediante un “Extrude”.

 

  Las secciones elipticas, las hemos visto en el apartado anterior. Por hoy, vamos a dejarlo aquí....

 

Revisado, para CATIA V5, Release 27, el 26/01/2023

 

 

Dirija sus preguntas a: juanri@muchocatia.es

Canal YouTube

CATIA V5 R27 Visitante nº