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eoria de Engranajes 1. Engranajes rectos.
2. Circunferencia Primitiva
3. Paso Circular
4. Módulo
4.1. Diametral Pitch
5. Forma de los dientes.
5.1. Angulo de presión.
5.2. Trazado de la involuta.
5.3. Resto de los datos del diente.
5.4. Alturas de cabeza y pié del diente.
5.5. Valor del Radio del pié.
5.6. Tabla resumen.
6. Bibliografia.
Sirven para transmitir movimiento circular o lineal (caso de las cremalleras) entre dos ejes paralelos. Es una forma de mejorar la rotación entre dos cilindros que tienen sus caras en contactos y que, por lógica, se producirían deslizamientos.
La cremallera se puede considerar una Rueda (o a veces llamada corona) de Diámetro primitivo infinito.
Los diámetros de esos dos cilindros que, en la figura, hacen contacto, en el engranaje solo quedan como una circunferencia teórica, pero es muy importante dado que en ella se basan todos los cálculos y la distancia entre los ejes de corona, piñón y cremallera. A esta circunferencia se la denomina “Circunferencia Primitiva” y a su diámetro “Diámetro primitivo” (Dp) y llamaremos a su radio como Rp.
Como es lógico, en un engranaje tenemos que tener un número entero de dientes (Z). Esto nos lleva a que el paso (espacio entre dos dientes consecutivos, el espacio de un vano mas el espesor de un diente) medido sobre la Circunferencia Primitiva debe ser múltiplo de 
(léase Pi), dado que la longitud de la circunferencia es 
.
Luego el Paso Circular (P) viene dado por la fórmula:
(1) donde Z es el Número de Dientes.
El espesor del diente (e), medido sobre la circunferencia primitiva, es igual a la mitad del Paso Circular (P). La otra mitad corresponde al vano (v).
Para facilidad en vez de hablar de paso circular (P), que es un número decimal largo, se habla del Módulo que es la relación que existe 
entre el Paso Circular (P) y . Aunque en muchos sitios se le designa como si fuera un número “adimensional”, en realidad (y sobre todo al aplicarlo en catia a las fórmulas) tiene dimensiones porque el Paso circular viene en milímetros y Pi es adimensional, luego la división da milímetros.
Tenemos que tener muy en cuenta que para que los dientes de un engranaje engranen en los de otro ambos tienen que tener el mismo Módulo (M) que es lo mismo que decir el mismo tienen el mismo Paso Circular, claro.
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(2) |
Y si en la fórmula (2) sustituimos P por el valor en función del número de dientes (Z), tenemos:
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(3) |
De la (2) también podemos ya poner todo en función del módulo, por ejemplo el Paso (P):
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(4) |
Los valores de los módulos están tabulados y son los siguientes:
| Preferentes | Opcionales |
| 1 | |
| 1.25 | 1.125 |
| 1.5 | 1.375 |
| 2 | 1.75 |
| 2.5 | 2.25 |
| 3 | 2.75 |
| 4 | 3.5 |
| 5 | 4.5 |
| 6 | 5.5 |
| 6.5* | |
| 8 | 7 |
| 10 | 9 |
| 12 | 11 |
| 16 | 18 |
| 20 | 22 |
| 25 | 28 |
| 32 | 36 |
| 40 | 45 |
| 50 |
(*) Debe evitarse.
En algunos países, que utilizan la pulgada, en vez del Módulo utiliza como referencia el “Diametral Pitch”, que es el número de dientes que tiene una rueda por cada pulgada de diámetro primitivo. Luego:
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(5) |
La relación entre Diametral Pitch y el Módulo es:
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(6) |
El perfil más usual en los flancos de los dientes es “la involuta”.
La curva que describe este perfil es la que genera el extremo de una cuerda (idealmente de espesor cero) que inicialmente estáenrollada al irse desenrollando.
Para poder definir el trazado de un diente primero hay que determinar el Circulo Base, cuyo radio (Rb) se puede calcular por trigonometría en función de este ángulo de presión.
El ángulo de presión es el que forma la línea de presión (normal a la superficie del diente en el punto de contacto entre dos engranajes) con la tangente a ambas circunferencias primitivas.
Autor: Claudio Rocchini (http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Involute_wheel.gif)
En la figura anterior vemos como se define el radio de circulo Base (Rb), aunque también podemos definirlo mediante trazado en catia.
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=> |  |
(7) |
Los ángulos de presión mas usados son el de 20° y el de 25°. En algún sitio he visto también 14 ½°.
Las ecuaciones paramétricas de la involuta son las siguientes:
  |
(8) |
Esta ecuación es si se desplaza en el cuadrante desde x hacia y, pero si lo hace en sentido contrario (empezando en la parte superior del circulo Base y bajando hacia x) tendríamos que cambiar la y por la x.
Como vemos empieza desde el círculo Base hacia fuera. Pero normalmente el valor del pié del diente (Dd) hace que el circulo de fondo (Rf) quede por dentro del circulo base. Pues bien, esa parte del perfil es una línea recta tangente a la curva del perfil, excepto en los dientes “Stub” según C.N.M. (Comité de Normalización Francés) para el ángulo de 20° en que la geometría hacía el diente más delgado en esa zona para evitar la temida “interferencia”.
Esa interferencia se puede producir (sobre todo para ciertos ángulos y cuando existe una gran diferencia entre los dientes del piñón y los de la rueda) precisamente en esa zona por no ser “geometría involuta”.
De “Mecanismo de engranajes” (http://ramos.mec.utfsm.cl/ ) (Dto. de Ingeniería de la Universidad Técnica Federico Santa María- Chile) he obtenido estos datos:
En la tabla se ven los piñones que tiene interferencia:
Angulo de Presión= 20° Z en Piñón Z en Rueda (máximo) Situación Menos de 13 cualquiera (>=13) Interferencia 13 16 OK 14 26 OK 15 45 OK 16 101 OK 17 1309 OK 18 Infinitos OK Angulo de Presión= 25° Menos de 9 cualquiera (>=9) interferencia 9 13 OK 10 32 OK 11 249 OK 12 Infinitos OK
Por la tabla podemos ver que si tengo un piñón de 13 dientes y una rueda de 17 dientes tendría problemas de interferencias, cuando el ángulo de presión es de 20°.
La cabeza del diente es la diferencia que hay entre el Rp y el Radio exterior (Re). También se la conoce como “Adendum” (Ad).
El píe del diente es la diferencia que existe entre el Radio exterior (Re) y el Radio fondo (Rf). También se la conoce como “Dedendum” (Dd).
La altura total del diente (h) es igual, por lo tanto a la altura de la cabeza (Ad) mas la altura del pié (Dd).
La unión del flanco del diente con el valle del diente se hace mediante un radio (R), llamado radio del pié.
Para estos parámetros nos encontramos con muchos valores de Altura de la cabeza y altura del pié.
En libros antiguos como el A. L. Casillas, nos encontramos con valores:
Para dientes normales:
Ad = M y para Dd= 1.167 M
Para dientes según la casa “Nuttal Co ”:
Ad= 0.7854 M y para Dd= 0.94248 M
Para dientes según Norma Americana Standard A.G.M.A (asociación Americana de Fabricantes de Engranajes):
Ad= 0.8 M y Dd= M
Para dientes según C.N.M. (Comité de Normalización Francés) con 20° de presión:
Ad= 0.75 M y para Dd= 0.95 M
Para la casa “Boston Gear”:
Ad= M y Dd= 1.2M + 0.0508mm (para 20°)
Ad= M y Dd= 1.157 M (para 14.5°)
Según UNE 18016:
Ad = M y Dd= 1.25 M
Para la “British Standard” (con ángulo de presión de 20°):
Aquí encontramos pocos datos. Según A. L. Casillas:
R (máximo) = 0.3 M
R (mínimo) = 0.2618 M
Pero parece extendido por la web el valor de R= 0.38 M, que es el que usaremos.
Esta sería la tabla para el caso de S.I. según UNE 18016:
Algunos datos obtenidos de: http://es.wikipedia.org/wiki/Engranaje
Véase en la Universidad de Jaime I (Castellón)
http://www.emc.uji.es/d/IngMecDoc/Mecanismos/Engranajes/EngrCilindr.html
Las ecuaciones paramétricas de la involuta se encuentran en:
http://www.rcub.bg.ac.yu/~ggajic/pub/catia/gear/
Agradecimientos:
Manuel Rodriguez (de Rota)
Javier Castro Hormigo (de Sevilla)
José Manuel Pérez (ex-alumno de los buenos)
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Dirija sus preguntas a: juanri@muchocatia.es | CATIA V5 R16 |
=> Rp = M x Z /2 (14)
o bien: 
