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Curvas planas: La Cicloide como caso particular de las trocoides
Catia v5 no tiene la posibilidad, al menos en esta release, de dibujar directamente una curva como la cicloide de la familia de las trocoides. El usuario siempre puede recurrir a hacer una cinemática de una circunferencia que rueda sobre una recta y obtener un “trace” de un punto del Part de la circunferencia.
Hombre!!! Esa solución, podría generar muchas curvas haciendo los correspondientes cambios y generando cada vez un “trace” nuevo. Pero a muchos de nosotros (algunos estudiantes de ingenierías o ya consagrados ingenieros) nos gusta “tocar ecuaciones” por lo cual planteo este estudio como un ejercicio.
1.- Un poco de historia
El objetivo de este ejercicio es obtener las curvas Trocoides (del griego trokhos: rueda) para cualquier valor, incluido el caso particular de la Cicloide.
Hay una página muy interesante donde podreis encontrar mucha información en español sobre la familia de las trocoides: os la recomiendo:
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Trocoides/paginas/trocoides.htm
| Las trocoides es el lugar geométrico de los puntos que describe un punto a una distancia del centro de una circunferencia, cuando esta gira, sin deslizar, por una recta. |
La ecuación general de las trocoides es:
donde:
- R es el radio de la circunferencia
- d la distancia que separa el punto generador del centro de la circunferencia.
- t el parámetro cuya variación provoca la curva.
Para d < R
Cuando d > R, las trocoides tiene un lazo y se interseca consigo misma.
Para d > R
Esta ecuación queda reducida, en el caso de la cicloide, a esta otra al ser R=d. La forma de la curva, en este caso, presenta un punto de regresión estando cada rama en distinto lado de la tangente en el punto de regresión. Su ecuación queda reducida a esto:
Y como curiosidad, cuando d=0 la curva se convierte en una línea recta paralela a la línea por la que rueda la circunferencia y pasando por el centro de la misma, como era de esperar, con esta ecuación:
2.- Resolución del ejercicio.
Veamos los pasos a dar:
La curva la vamos a situar en el plano YZ, para mejor visibilidad, por lo que en la ecuación el valor de la x se aplica a la Y y el valor de la y a la Z.
Creamos 5 parámetros:
Despl_Y = 0mm (de tipo Length)
Despl_Z = 0mm (de tipo Length)
t1 = 0 (de tipo Real).
R = 30mm (de tipo Length)
d = 30mm (de tipo Length)- Dentro de un Geometrical Set nuevo dibujamos un punto por coordenadas con el valor de x = 0mm. A las coordenadas y y z le aplicamos la fórmula:
Y = Despl_Y
Z= Despl_Z.
- Dibujamos una línea Point-Direction desde ese punto y en la dirección del eje Y de cierta longitud.
- Creamos una Ley
a la que le damos el nombre yt, de la siguiente manera:
- Damos al icono Law y nos aparece la siguiente ventana:
- Sustituimos el Nombre “Law.1”por yt y damos Ok. Nos aparece el panel del editor:
- En el campo de la derecha del botón [New Parameter of type], buscamos el tipo “Length” y entonces le damos a dicho botón. Nos crea un parámetro (que será el que después resuelva la ley) al que NO cambiaremos de nombre. Tendrá esta pinta:
- Ahora buscamos uno de tipo Real, y entonces le volvemos a dar al botón, pero esta vez le cambiamos de nombre y le ponemos (por ejemplo) t (no debe coincidir con otro ya creado).
- Y ahora procedemos a escribir la fórmula, para lo cual vamos pinchando con doble clic sobre los parámetros y escribiendo, entre ellos, los signos de igualdad, paréntesis y multiplicación (el asterisco) que necesitemos. Debemos escribir esto:
/*Law created by Juanri 23/01/2009*/
FormalLength.1= Despl_Y + ( (R * t ) - ( d * sin(t * 1rad) ) )
- Damos a [Apply] para ver si tenemos errores tipográficos (falta algún paréntesis o signo, etc..) y si no se “queja” damos a OK y cerramos.
- En el árbol nos debe aparecer este elemento:
- Creamos otra Ley, a la que le damos el nombre zt, de la misma manera que la anterior, pero con la fórmula:
Nota: El valor de t está multiplicado por 1 radian (1 rad) para hacerlo una unidad compatible con el ángulo que se espera para coseno y seno.
- Creamos ahora un nuevo Geometrical Set al que llamaremos “Cicloide” y en él dibujemos un punto por coordenadas con la x=0. los valores de la y y de la z los pondremos por fórmula de la siguiente manera:
- Nos colocamos con el cursor sobre el campo y y con el menú contextual invocamos el editor de formulas.
- Nos aparece un panel en el que buscamos en la parte izquierda la línea “Law” y la pinchamos (sin doble clic). En el panel de la derecha nos aparece esto:
- Nos está diciendo que tendremos que poner el nombre de nuestra Ley (Law) y entre paréntesis un número real, siendo el resultado un número Real. Hagámoslo:
- Doble clic, en el árbol, sobre la ley “yt”. Este será el resultado:
- El cursor se coloca detrás de lo escrito. Volvemos ahora a busca la línea Law y en el campo de la derecha damos doble clic. Este será el resultado:
- El cursor se queda ahora dentro del paréntesis esperando que demos el valor de la variable t, que recordemos es adimensional. Supondremos que queremos hacer puntos a la misma distancia. En función de las partes que queremos hacer en una vuelta completa pondremos los valores. Yo lo he hecho para 40 puntos (ufff que cansado) y el valor que he puesto es:
- ( 0 * 2 * PI / 40) para después ir poniendo:
- ( 1 * 2 * PI / 40)
- ( 2 * 2 * PI / 40)
- ...
- ( 40 * 2 * PI / 40)
- Quedaría de esta forma:
- Una vez creado el primer punto el trabajo consiste en crear el resto de los puntos por el mismo procedimiento. Para evitar tener que teclear tantas fórmulas, copiamos y pegamos el punto y le vamos cambiado el valor de la fórmula. Debe quedar algo así..:
- Hacemos una primera tanda hasta 40 puntos para la cicloide y para que quede mas bonita hacemos otros 40 puntos mas para el resto de las trocoides. Los primeros puntos los unimos con una “Spline” a la que identificamos como “Spline.CICLOIDE”. Los segundos 40 puntos con otra “spline” a la que identificamos como “Spline.CICLOIDE_2”.
Como la Cicloide tiene un punto de regresión y eso deformaría una sola curva de dos lazos (4 * PI), pero sin embargo para ver el efecto de una “genérica” seria deseable tener dos lazos, haremos otra spline, a la que identificamos como “Spline.Trocoide” con todos los puntos, pero de momento solo la creamos con los 40 puntos primeros y después la completamos (para que no pase nada cuando tenga el punto de retroceso metido).
- Pero antes tenemos que poner que estos puntos se activen cuando el valor de R sea distinto del de d. ¿Cómo hacemos esto? Pues vamos a crear una “Reactions” que “reaccione” (valga la redundancia) cuando cambiemos el valor de d.
Vamos al módulo Start
KnowledgewareKnowledge Advisor.
- Damos al icono “Reactions”
. Nos sale un panel y seleccionamos el parámetro “d”. quedará el panel de esta forma:
- Damos al botón, de la parte inferior, [Edit action..] y en la pantalla que nos sale colocamos lo siguiente y escribimos:
Le decimos que si d=R, la actividad de la curva CICLOIDE y de la CICLOIDE_2 sea verdadera y la actividad de la “Trocoide” (la curva con los 80 puntos) sea falsa. Y en caso contrario cambie las actividades.
- Ya solo queda cambiar el valor de d= 55 (por ejemplo) y ver el resultado. Pero para eso debemos completar la curva “Spline.Trocoide” para que recoja todos los puntos. Solo se verá cuando el valor de d sea distinto del valor del radio.
Bueno pues ya sabeis una forma de hacer ecuaciones de curvas de forma general. Esto es aplicar “las reglas del conocimiento” y nuestros conocimientos de dibujo.
Si eres “mas flojo que un muelle de gita” 
.... o estás mu cansado de "currar", claro..., puedes bajarte el Part de aquí.. pero asi no se aprende.
Preg.: Bueno Juanri, pero ¿para que hemos hecho los parámetros “Despl_Y”, “Despl_Z” y “t1”?
Resp.: ¡Anda!.. que despiste el mío.. se me olvidaba. Los parámetros “Despl_Y” y “Despl_Z” nos permite dibujar la trocoide a partir de cualquier punto y no necesariamente empezando en el y=0; z=0.
Y el parámetro “t1” es para que tú, estimado y “anónimo” (lo de anónimo lo digo porque muchos de vosotros no os dais a conocer ni siquiera en el libro de visitas) lector intentes dibujar una rueda como la de mi figura que se mueva cuando cambie el parámetro “t1” y funcione con todas los valores de “d”. Ea, ya tienes trabajo…eso por preguntar..
