Esta Vd. en: Descriptiva->Cónicas como secciones planas

  En este apartado vamos a tratar las Secciones Planas que se producen en un Cono oblícuo.

2.- Secciones Circulares.

  En las superficies regladas cuya directriz sea una circunferencia o una elipse, un plano que corte a la superficie cónica pasando por el vértice, produce dos rectas.
       Estas son las generatrices comunes a la superficie y al plano secante (se llama secante cuando corta, a diferencia de tangente cuando es tangente a la superficie, y no corta claro..jejeje).
  Cuando este plano secante no pasa por el vértice, produce en las superficies secciones planas de tipo “cónicas” algunas de las cuales hemos visto en Secciones circulares del grupo cónico.
  Por obvia no hemos visto, en el Grupo Cónico, la sección circular, que se produce cuando el plano secante, que corta al grupo cónico, es perpendicular al eje del cono.

  Pero la sección circular la hemos dejado aparte porque es de mucha utilización en la industria, dado que la mayoría de los tubos son redondos y existen muchas tolvas cuyas bocas son circulares. Por eso, estudiaremos las superficies radiadas de directriz circular y elíptica.

2.1.- Superficies radiadas de directriz Circular.

  Todas las secciones producidas por planos paralelos al de la directriz, son circulares. En el caso del cono, además sus radios serán proporcionales a la distancia al vértice. Esto que se produce se denomina “homotecia” (que palabro!!). En el caso del cilindro o cilindroide, como su “vértice” se encuentra en el infinito esta “proporcionalidad” se traduce en igualdad.
  En el resto superficies oblicuas de vértice propio e impropio, que producen secciones circulares las vemos a continuación.

2.1.1.- Superficie radiada: Cono Oblicuo.

 Vamos a empezar por otro “palabro”: Plano antiparalelo.
Partamos del conocido: el paralelo. Respecto a dos líneas, un plano es paralelo a otro cuando sus ángulos con respecto a las mismas líneas forman los mismos ángulos.
Y se dice que un plano es antiparalelo, cuando respecto a esas dos mismas líneas los ángulos formados son del mismo valor pero están alternados.


  Es como si hubiéramos “cortado el cono” y lo hubiésemos girado 180°. Las cotas de 36,53° y la de 114,23° están ahora en las generatrices contrarias. Si observamos por separado las generatrices del cono largo (el original) y el corto (el de arriba) veremos que la larga del cono pequeño coincide ahora con la corta del cono largo.
Nota: Obsérvese de la figura, que mientras que en los planos “paralelos” los centros de las bases circulares se mantiene en la línea del eje, en el plano antiparalelo el centro de la circunferencia ya no está en el eje del cono.
  Como sabemos, un plano al cortar a todas las generatrices de un cono forma una elipse o un círculo. Por trigonometría (no vamos a entrar en la demostración) se llega a la conclusión que la sección que produce es de tipo circular.
  Como característica de este plano antiparalelo a la base, si trazamos una circunferencia que contenga a los cuatro vértices del cuadrilátero tenemos:

• Los ángulos opuestos de un cuadrilátero son suplementarios. Esto quiere decir que el ángulo en B y el ángulo en C son suplementarios y por lo tanto son iguales los ángulos alfa del dibujo.
• Esto implica que las rectas AB y DC son antiparalelas y por lo tanto los planos que pasen por ellas también lo son.

  Se observa que las distancias OB = OA = OD = OC, siendo el punto O el que cumple con ese lugar geométrico. Y si las rectas DC  y BA son diámetros de sus respectivos círculos, eso implica que todos los puntos del cada círculo cumple la condición de esa igualdad de distancias con el punto O.
  Dicho de otra manera: el punto O es el centro de una esfera que contiene a los círculos de las bases (circulares, claro está y valga la redundancia).

Con esto llegamos a la siguiente conclusión:

En una superficie cónica reglada de base circular, cualquier otra sección circular, no paralela a la base, debe estar contenida en la misma esfera que contiene a la base.

 

2.1.2.- Cilindro Oblicuo.

  Lo dicho para el cono (superficie radiada de vértice propio), podemos decir para el cilindroide de directriz circular o cilindro oblicuo (superficie radiada de vértice impropio).

  En la figura se ha obtenido la sección circular producida por el plano que pasa por la línea CD, antiparalelo del de la base.
  Y otra curiosidad: las secciones circulares de una misma superficie son de igual diámetro.
  Por lo tanto también se deduce que dos secciones circulares, no paralelas, son también coesféricas.

3.- En CATIA V5:

 Esto nos va a servir en el caso que tengamos que dibujar Tolvas de conos oblicuos, de directriz circular, que tenga una boca también circular. O bien Tolvas de cilindros Oblicuos de directriz circular a la que tengamos que obtener una boca, no paralela a la anterior, que sea circular.
   De todo lo dicho anteriormente, debemos sacar las siguientes conclusiones, para los dos casos:

Las secciones (para bocas) circulares se producen en conos oblicuos y cilindros, de directriz circular, SOLO cuando son planas y los planos son o paralelos al plano de la directriz o antiparalelo, es decir contenidos en la misma esfera de la directriz.

Otra forma de decirlo resumida:   Los trozos de conos desde la base al vértice forman, en la vista por el plano de simetría, triángulos semejantes.

¿Para que nos puede servir esto?. Pongamos un ejemplo.
  Tenemos que construir una tolva y dado que una boca horizontal (la inferior) es circular y se une con otro tubo también circular deducimos que es un cono Oblicuo. La boca horizontal es de diámetro 130mm. Con el eje de esta salida, y a una altura de 65mm de la boca, el otro tubo circular forma un ángulo de 65°, siendo el otro tubo de diámetro 50mm.

    

Vamos a dibujar el perfil aparente del cono oblicuo en la proyección normal al plano de simetría, y lo haremos en un Sketch. Los pasos a dar son los siguientes:

1. Obtenemos los puntos extremos, por medio del comando “Extremum”, de la curva de la boca de entrada (Ø 130mm) dando como dirección principal el eje Y, y como secundarios no hace falta definir ninguno. Obtenemos tanto el Máximo como el Mínimo en esa dirección.
2. Hacemos un Sketch en el plano de simetría y con centro en el punto de intersección de los ejes de los tubos y pasando por los puntos “Extremum”,  que acabamos de dibujar, hacemos una circunferencia. Esta circunferencia corresponde al contorno aparente de una esfera sobre el plano de simetría.
   
   
3. Dibujamos dos líneas paralelas al eje del otro tubo que terminen en el circulo, y la acotamos con el valor del diámetro.
   
4. Dibujamos dos líneas que definen el contorno aparente del cono y otra mas que define la posición de la base que estamos buscando.
   
   
5. Dibujamos otra más que define la posición de la base que estamos buscando. Observamos que se forma un triangulo semejante.
6. Salimos del Sketch y obtenemos un plano perpendicular al plano de simetría que pase por la línea de la base pequeña definida en el Sketch. Obtenemos igualmente el centro de esa diagonal y dibujamos el correspondiente círculo de esa base.
   
   
7. En la base del cono, obtenemos dos puntos mas, de tipo “Extremum” en dirección del eje X (máximo y mínimo). Esto puntos los unimos con el vértice del cono por medio de dos rectas.
   
   
8. Obtenemos la superficie con el comando “Multi-Sections Surface”, dando como curvas de secciones los dos círculos y como curvas guías los cuatro contornos aparentes.
   Recordar que tendremos que cambiar los “Closing Point”.

  Las secciones elipticas las hemos visto en el apartado anterior. Por hoy vamos a dejarlo aquí....

Dirija sus preguntas a: juanri@muchocatia.es

CATIA V5 R16